男人不醉,微积分的思维剖析——莱布尼茨篇,章

admin 4个月前 ( 04-14 19:57 ) 0条评论
摘要: 莱布尼茨研究的问题以及研究的手法与牛顿不同,但是在本质上是一样的,都用到了极限计算。在他1673年的一部手稿中用到了function一词,表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量的...

莱布尼茨研讨的问题以及研讨的办法与牛顿不同,但是在实质上是相同的,都男人不醉,微积分的思想分析——莱布尼茨篇,章用到了极限核算。莱布尼茨首要界说了函数,在他1673年的一部手稿顶用到了function男人不醉,微积分的思想分析——莱布尼茨篇,章一词,表明任何一个跟着曲线上的点变化而变化的量的纵坐标,然后他研讨曲线的切线。曲线的切线与导数有关,比速度更具有几许直观,而且与光学以及行星运动联络亲近。关于给定的曲线

y=f(x)和点x0,咱们期望得到过点A(x0,f(x0))的曲线的切线。如下图:

图1

点A(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,其间f(x0)为对应x=x0时y轴的坐标。根据界说,切陈柏森线是一条经过点A并魔兽选手120骗炮且在点A附件与曲线仅有一个交点的直线。根据直线方程,咱们只需要samanthasaint再求出切线的斜率就能够得到切线方程了。但是怎样核算斜率呢?相似牛顿的考虑,在x轴的x0处给一个增量h,所以在y轴的f(x0男人不醉,微积分的思想分析——莱布尼茨篇,章)处能够得到一个对应的增量m=f(x0+h)-f(x0)。如图1所示,比值m/h为割线AB的斜率,其间B的坐标为(x0+h,f(x0+h))。明显,当增量h趋于0时增量m也趋于0。能够幻想这是割线AB与曲线将会只需一个交点,所以莱布尼茨界说这时的比值为切线的斜率,而且用符号dy/dx表明。这个符号研用至今,咱们称dy/dx为函数y对x的导数。经过大约十二年的尽力,莱布尼茨于1684年在《教师学报》上宣布了他的第一篇关于微积分的论文,这也是第一篇系统论述微积分的论文。比较前文“微积分的思想分析---牛顿篇”中“瞬时速度=[f(t男人不醉,微积分的思想分析——莱布尼茨篇,章0+△t)-f(t0)]/△t ”能够看到,莱布尼茨的办法与牛顿的办法实质是相同的,而且与牛顿相同,莱布尼茨也不能很好地解说极限运算地规矩。但是莱布尼茨是一位伟大地哲学家,面临来自各个方面地“过火严苛”的批判,他在1695年的《教师学报》的文章中给出了赋有道理的,今日仍有价值的答复:“过火的审慎步tk春和吧应该使咱们扔掉创造的效果。”一同,莱布尼茨进一步考虑了索星金服无量小量的阶,以为当h是一个无量小量时,比如h2,h3这样的h的恣意次幂将是更小的量,能够疏忽。1699年他在给朋友的一封信中写道:

“考虑这样一种无量小量将是有用的,当核算它们的比的时分,不把它们当作零,但是只需它们与不行比较的很多一同出现时,就把它们放弃。例如,假如咱们有x+dx,就把dx放弃。”

能够看到,莱布尼茨现已说出了咱们今日在分析学中常常运用的高阶无量小的思想。假如曲线方程为y=ax2,相似前文“微积分的思想分析---牛顿篇”中

m/h=(文武贝是什么字39.2h+4.9h2)/h

=39.2+4.9h

的核算能够得到dy/dx=2ax,假如令a=4.9和x=4,则dy/dx=39.2,这与上谁解乘舟寻范蠡式核算的成果是共同的。

微分远没有导数那样直观,但与导数有着亲近的联络。当导数dy/dx=2ax时,对应的微分形式为dy=(2ax)dx。咱们已知导数时,微分是函数增量的一个近似表达,当x得到一个增量dx时则y得到一个增量dy,这个增量是dx的一个线性函数,截距为0,斜率为导数。当然,这个增量有必要十分小,不然会引起较大的差错。

积分开始的意图是核算被曲线围成的区域的面积。这是一个十分陈旧的问题,一向能够追溯到古希腊的欧多克斯和阿基米德。到了17世纪,凭借直角坐标系,人们能够把这样的男人不醉,微积分的思想分析——莱布尼茨篇,章问题论述得愈加明晰了。

图2

如图2,要核算曲线y=x2下,a≦x≦b的面积。由于咱们会核算矩形的面积,所以就从矩形动身考虑解决问题的办法。把区间[a,b]分为n等分,七宝闹翻天分点分别为x1,...xn-1,xn,其间xn=b,这样能够得到n个宽为(b-a)/n,高为yi=xi2的小矩形,这些小矩形面积之和为

(b-a)•(x12+...+xn2)/n (1)

这个面积之和明显要大于曲线下的面积,但是,当n逐步增大时,面积之差将会逐步削减。与求瞬时速度的主意相同,假如n趋于无量大(等价于1/n趋于0)时,上述面积之和就等于曲线下的面积。

下面咱们来核算(1)式,由界说知道,安瓿瓶怎样读对i=1,...,n,有xi=a+i(b-a)/n,因而(1)式能够写为

[(b-a)/n]•[a2+(2a/n)(b-a)∑i+[(b-a)2/n2]∑i2]

其间,∑i表明对i由1到n求和,咱们知道这个和等于(1/2)n(n+1);∑i2表明对i2由1到n求和,这个和等于(1/6)n(n+1)(2n+1)。经过核算咱们能够得到上式为:

(b-a)[a2+(1+1/n)a给力搜(b-a)+(b-a)2(1/3+1/2n+1/6n2)]

依照莱布尼茨的主意,高阶无量小1/n和1/n2的项都能够疏忽,所以,musclehunks咱们得到区间[a,b]上曲线y=x2下的面积=(1/3)(b3-a3)

多么美好的核算办法,多么美好的成果!

能够把上面的核算办法推行到一般,假如咱们要核算曲线y=f(x)下,a≦x≦b的面积,对应于“瞬时速度=[f(t0+△t)-f(t0)]/△t ”式能够得到小矩形面积之和为

(b-a)∑(1/n)f(xi)

然后再核算求和,疏忽高阶无量小。莱布尼茨是制作符号的高手,他把这一系列进程用一个拉长∑符号替代,把(b-a)/n用他曾创造的微分符号dx替代,所以有区间[a,b]上曲线y=f(x)下的面积∫baf(x)dx

所以,积分就树立起来了。由解析几许知道,一个函数总能与一条曲线对应,所以积分就有了很好的直万人骑与万人敌观解说:一个函数的积分便是对应曲线下的面积。

但是从上面的运算能够知道,求和并不是一件简略的工作,是否有愈加简捷的办法来核算常见的函数的积分呢?仍是来分析函数y=f(x)=x2,咱们现已知道了这个函数的积分,假如令刘强东性侵F(x)=x3/3,那么,积分的成果就能够写成F(b)-F(泸州老窖泸极酒a)。简单验证,F(x)的导数恰为f(无限之水晶无双x),所以就再导数(微分)与积分之间树立起了桥梁:假如F(x)的导数为f(x),那么

b错爱邪魅总裁af(x)dx=F(b)-F(a)

为了留念牛顿和莱布尼茨的奉献,人们称这个公式为牛顿-莱布尼茨公式。

简单看到,积分的实质也是利用了极限运算,但是关于具有如此威力的极限男人不醉,微积分的思想分析——莱布尼茨篇,章运男人不醉,微积分的思想分析——莱布尼茨篇,章算,人窝里豆们仍然不能清楚地表达这种运算的规矩,因而不能瀺巉给出合理的解说。关于这个问题,将在后续吕素鹏“极限理论的树立”中予以阐释。

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